立體圖形中的角：幅圖冇話你知嘅嘢

閱讀約 6 分鐘·更新於 2026 年 9 月 5 日

卷二嘅立體圖形，全部都係將一件立體嘢畫成一幅平面圖，而「壓平」呢個動作一定會毀掉資料。喺立體入面相等嘅長度，畫出嚟唔等長；本身係直角嘅，畫到唔似直角；本身同直角差好遠嘅，反而畫到四四方方。所以立體題從來都唔係考你睇圖——係考你搵到一個你肯定係直角嘅三角形，然後喺入面做返普通嘅平面三角學。

要考嘅本事就係嗰一步：由立體入面揀返個直角三角形出嚟，然後當個立體唔存在。

誤解一：信咗一個冇人俾過你嘅直角

長方體嘅一條豎邊，真係垂直於底面，因為長方體本身就係咁定義。但一個面嘅對角線就真係唔垂直。喺圖入面，兩者可以望落一模一樣。同學將畢氏定理或者正弦比套落一個根本唔係直角嘅三角形，之後每一步都係虛構。

用任何「直角」嘅事實之前，先講得出理由：「呢條邊垂直於嗰個平面，因為個立體係長方體」，或者「頂點喺中心正上方，因為題目講明係正角錐」。如果講唔出理由，你就冇直角。

誤解二：直線同平面之間嘅角

呢個角係由「投影」定義嘅：將直線嘅端點垂直落喺平面上，將個垂足同直線與平面相交嗰點連埋，原本嗰條直線同呢條投影之間嘅角，先係要求嘅角。

常見錯誤係攞咗一條就手嘅邊嚟代替投影。喺一個箱入面，空間對角線喺底面嘅影係底面嘅對角線，唔係底面其中一條邊——而嗰條邊就喺隔籬，已經畫咗，仲已經標咗一個題目俾咗你嘅長度。用咗佢，你會計到一個好合理嘅角，只不過係另一個角。

誤解三：兩個平面之間嘅角

兩個平面沿一條公共棱相交時，喺條棱上揀一點，喺每個平面各畫一條經過該點嘅直線，而且兩條都要垂直於條棱。呢兩條直線之間嘅角，就係兩平面之間嘅角。

「垂直於條棱」呢個條件就係成個定義，亦正正係最多人略過嘅一步。隨便喺兩個面「橫跨」畫兩條線，都一定計到一個角，個角亦一定望落好合理，但一定係錯。如果你兩條臂唔係都垂直於公共棱，咁你量度緊嘅係另一樣嘢。

一個示範例子

一個長方體嘅底面係 $4$ 厘米乘 $3$ 厘米嘅長方形，垂直高係 $12$ 厘米。求一條空間對角線同底面之間嘅角，準確至最接近嘅度數。

先搵投影。空間對角線由底面一角去到對面頂角；佢喺底面嘅影就係底面嘅對角線，長度係

豎邊垂直於底面，因為個立體係長方體——呢個就係講得出嘅理由——所以由底面對角線、豎邊同空間對角線組成嘅三角形，喺底面嗰個角係直角。因此

錯路就係用咗底面一條邊嚟代替對角線：$\tan\theta = \tfrac{12}{4}$ 得出大約 $72^\circ$，$\tan\theta = \tfrac{12}{3}$ 得出大約 $76^\circ$。呢三個角喺呢個箱入面全部真實存在，但只有一個係空間對角線同底面之間嘅角。

自我檢查

落筆計之前，講一次呢句：「我用緊嘅三角形喺 ___ 係直角，因為 ___。」如果「因為」之後要靠幅圖而唔係靠個立體嘅性質，就停手，另揀一個三角形。

下面嘅操練每次都會重新生成立體同尺寸，等你每次都要重新做一次投影，而唔係靠記。

Dsetopia 自家撰寫的溫習筆記，由教育局課程學習目標寫起。與香港考評局無關，並無複製任何試題內容。