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課題 · 圓的方程

DSE 數學卷二：圓的方程

呢個課題將圓放上坐標平面。你要識由圓心同半徑或者其他條件寫出圓的方程、由一般式讀出圓心同半徑，以及判斷圓同直線點樣相交。

呢個課題考乜

  • 由圓心及半徑求圓的方程
  • 由一般式 x² + y² + Dx + Ey + F = 0 求圓心及半徑
  • 通過已知點或圓心在已知直線上的圓
  • 圓與直線的交點；切線

兩條示例題

示例 1

P( negative 5, negative 17) 及 Q(5, 7) 為某圓一條直徑的兩端點。該圓的方程為

  1. Ax squared plus y squared plus 10x plus 194 equals 0.
  2. Bx squared plus y squared plus 10x minus 144 equals 0.
  3. Cx squared plus y squared plus 10y minus 144 equals 0.
  4. Dx squared plus y squared plus 10y plus 194 equals 0.
顯示答案及題解

答案：C

詳細題解

圓心=PQ\displaystyle = PQ 的中點=(−5+52,−17+72)\displaystyle {}= \left(\dfrac{-5+5}{2}, \dfrac{-17+7}{2}\right)=(0,−5)\displaystyle {}= (0, -5)半徑=12PQ\displaystyle {}= \dfrac{1}{2}PQ=12(5−(−5))2+(7−(−17))2\displaystyle {}= \dfrac{1}{2}\sqrt{(5-(-5))^2+(7-(-17))^2}=13\displaystyle {}= 13(x−0)2+(y−(−5))2=132\displaystyle (x - 0)^2 + (y - (-5))^2 = 13^2⇒x2+y2+10y−144=0\displaystyle \Rightarrow x^2 + y^2 + 10y - 144 = 0

示例 2

一圓通過點 A( negative 2, 4) 及 B( negative 4, 6)，且其圓心位於直線 x plus y equals 0 上。該圓的方程為

  1. Ax squared plus y squared minus 8x plus 8y plus 36 equals 0.
  2. Bx squared plus y squared plus 8x minus 8y plus 28 equals 0.
  3. Cx squared plus y squared plus 8x minus 8y plus 36 equals 0.
  4. Dx squared plus y squared minus 8x plus 8y plus 28 equals 0.
顯示答案及題解

答案：B

詳細題解

代入 A: 20−2D+4E+F=0\displaystyle A: \ 20 - 2D + 4E + F = 0 \quad代入 B: 52−4D+6E+F=0\displaystyle B: \ 52 - 4D + 6E + F = 0兩式相減消去 F: 2(D−E)=32⇒D−E=16\displaystyle F: \ 2(D - E) = 32 \Rightarrow D - E = 16圓心 (−D2,−E2)\displaystyle \left(-\dfrac{D}{2}, -\dfrac{E}{2}\right) 在 x+y=0\displaystyle x+y=0 上: D+E=0⇒D=8, E=−8\displaystyle : \ D + E = 0 \Rightarrow D = 8, \ E = -8代回 B: F=−52−8(−4)−(−8)(6)=28\displaystyle B: \ F = -52 - 8(-4) - (-8)(6) = 28⇒x2+y2+8x−8y+28=0\displaystyle \Rightarrow x^2 + y^2 + 8x - 8y + 28 = 0

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