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課題 · 二次方程

DSE 數學卷二：二次方程

二次方程喺卷二甲、乙部都會出現。你要識解二次方程、用判別式判斷有幾多個實根、唔解方程都用到根的和與積，以及由圖像或配方求二次函數嘅最大值或最小值。

呢個課題考乜

  • 以因式分解、公式或配方法解二次方程
  • 判別式與根的性質
  • 根的和與積，以及由它們組成的式子
  • 最大值與最小值；圖像的頂點及對稱軸

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兩條示例題

示例 1

若 y equals negative x squared plus 10x minus 3，其中 x 為實數，則 y 的最大值為

  1. A22.
  2. B28.
  3. C47.
  4. D97.
顯示答案及題解

答案：A

詳細題解

y=−x2+10x−3\displaystyle y = -x^2 + 10x - 3=−(x−5)2+22\displaystyle = -(x - 5)^2 + 22由於−(x−5)2≤0\displaystyle -(x - 5)^2 \leq 0對所有實數x\displaystyle x恆成立，故y\displaystyle y的最大值為22\displaystyle 22。

示例 2

設 alpha 及 beta 為方程 x squared plus 3kx minus 4 equals 0 的兩根，其中 k 為常數。則 1 over alpha squared plus 1 over beta squared equals

  1. A16 minus 6k over 9k squared .
  2. B9k squared plus 8 over 16 .
  3. C16 plus 6k over 9k squared .
  4. D9k squared minus 8 over 16 .
顯示答案及題解

答案：B

詳細題解

α+β=−3k,αβ=−4\displaystyle \alpha + \beta = -3k, \quad \alpha\beta = -41α2\displaystyle \dfrac{1}{\alpha^2}+1β2\displaystyle {}+ \dfrac{1}{\beta^2}=α2+β2(αβ)2\displaystyle {}= \dfrac{\alpha^2 + \beta^2}{(\alpha\beta)^2}=(α+β)2−2αβ(αβ)2\displaystyle {}= \dfrac{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta}{(\alpha\beta)^2}=(−3k)2−2(−4)(−4)2\displaystyle = \dfrac{(-3k)^2 - 2(-4)}{(-4)^2}=9k2+816\displaystyle {}= \dfrac{9k^2 + 8}{16}

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